Блог
996 0

Как сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями правило. Сравнение дробей: правила, примеры, решения

Как сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями правило. Сравнение дробей: правила, примеры, решения

Две неравные дроби подлежат дальнейшему сравнению для выяснения, какая дробь больше, а какая дробь меньше. Для сравнения двух дробей существует правило сравнения дробей, которое мы сформулируем ниже, а также разберем примеры применения этого правила при сравнении дробей с одинаковыми и разными знаменателями. В заключение покажем, как сравнить дроби с одинаковыми числителями, не приводя их к общему знаменателю, а также рассмотрим, как сравнить обыкновенную дробь с натуральным числом.

Навигация по странице.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями по сути является сравнением количества одинаковых долей. К примеру, обыкновенная дробь 3/7 определяет 3 доли 1/7, а дробь 8/7 соответствует 8 долям 1/7, поэтому сравнение дробей с одинаковыми знаменателями 3/7 и 8/7 сводится к сравнению чисел 3 и 8, то есть, к сравнению числителей.

Из этих соображений вытекает правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями: из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше, и меньше та дробь, числитель которой меньше.

Озвученное правило объясняет, как сравнить дроби с одинаковыми знаменателями. Рассмотрим пример применения правила сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример.

Какая дробь больше: 65/126 или 87/126?

Решение.

Знаменатели сравниваемых обыкновенных дробей равны, а числитель 87 дроби 87/126 больше числителя 65 дроби 65/126 (при необходимости смотрите сравнение натуральных чисел). Поэтому, согласно правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, дробь 87/126 больше дроби 65/126.

Ответ:

Сравнение дробей с разными знаменателями

Сравнение дробей с разными знаменателями можно свести к сравнению дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого лишь нужно сравниваемыеобыкновенные дробипривести к общему знаменателю.

Итак, чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, нужно

  • привести дроби к общему знаменателю;
  • сравнить полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

Разберем решение примера.

Пример.

Сравните дробь 5/12 с дробью 9/16.

Решение.

Сначала приведем данные дроби с разными знаменателями к общему знаменателю (смотрите правило и примеры приведения дробей к общему знаменателю). В качестве общего знаменателя возьмем наименьший общий знаменатель, равный НОК(12, 16)=48. Тогда дополнительным множителем дроби 5/12 будет число 48:12=4, а дополнительным множителем дроби 9/16 будет число 48:16=3. Получаеми.

Сравнив полученные дроби, имеем. Следовательно, дробь 5/12 меньше, чем дробь 9/16. На этом сравнение дробей с разными знаменателями завершено.

Ответ:

Получим еще один способ сравнения дробей с разными знаменателями, который позволит выполнять сравнение дробей без их приведения к общему знаменателю и всех сложностей, связанных с этим процессом.

Для сравнения дробей a/b и c/d, их можно привести к общему знаменателю b·d, равному произведению знаменателей сравниваемых дробей. В этом случае дополнительными множителями дробей a/b и c/d являются числа d и b соответственно, а исходные дроби приводятся к дробям и с общим знаменателем b·d. Вспомнив правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, заключаем, что сравнение исходных дробей a/b и c/d свелось к сравнению произведений a·d и c·b.

Отсюда вытекает следующее правило сравнения дробей с разными знаменателями: если a·db·c, то, а если a·d

Рассмотрим сравнение дробей с разными знаменателями этим способом.

Пример.

Сравните обыкновенные дроби 5/18 и 23/86.

Решение.

В этом примере a=5, b=18, c=23 и d=86. Вычислим произведения a·d и b·c. Имеем a·d=5·86=430 и b·c=18·23=414. Так как 430414, то дробь 5/18 больше, чем дробь 23/86.

Ответ:

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Дроби с одинаковыми числителями и разными знаменателями, несомненно, можно сравнивать с помощью правил, разобранных в предыдущем пункте. Однако, результат сравнения таких дробей легко получить, сравнив знаменатели этих дробей.

Существует такое правило сравнения дробей с одинаковыми числителями: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой меньше знаменатель, и меньше та дробь, знаменатель которой больше.

Рассмотрим решение примера.

Пример.

Сравните дроби 54/19 и 54/31.

Решение.

Так как числители сравниваемых дробей равны, а знаменатель 19 дроби 54/19 меньше знаменателя 31 дроби 54/31, то 54/19 больше 54/31.

Правила сравнения обыкновенных дробей зависят от вида дроби (правильная, неправильная, смешанная дробь) и от знаменателен (одинаковые или разные) у сравниваемых дробей.

В этом разделе рассматриваются варианты сравнения дробей, имеющих одинаковые числители или знаменатели.

Правило. Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми знаменателями, надо сравнить их числители. Больше (меньше) та дробь, у которой числитель больше (меньше).

Например, сравнить дроби:

Правило. Чтобы сравнить правильные дроби с одинаковыми числителями, надо сравнить их знаменатели. Больше (меньше) та дробь, у которой знаменатель меньше (больше).

Например, сравнить дроби:

Сравнение правильных, неправильных и смешанных дробей между собой

Правило. Неправильная и смешанная дроби всегда больше любой правильной дроби.

Правильная дробь но определению меньше 1, поэтому неправильная и смешанная дроби (имеющие в своем составе число, равное или больше 1) больше правильной дроби.

Правило. Из двухсмешанных дробейбольше (меньше) та, у которой целая часть дроби больше (меньше). При равенстве целых частей смешанных дробей больше (меньше) та дробь, у которой больше (меньше) дробная часть.

Задачи урока:

  1. Обучающие: научить сравнивать обыкновенные дробиразличных видов, используя различные приемы;
  2. Развивающие: развитие основных приемов мыслительной деятельности, обобщения сравнения, выделение главного; развитие памяти, речи.
  3. Воспитательные: учиться слушать друг друга, воспитание взаимовыручки, культуры общения и поведения.

Этапы урока:

1. Организационный.

Начнем урок словами французского писателяА.Франса: Учиться можно весело….Чтобыпереварить знания, надо поглощать их саппетитом.

Последуем этому совету, постараемся бытьвнимательными, будем поглощать знания с большимжеланием, т.к. они пригодятся нам в дальнейшем.

2. Актуализация знаний учащихся.

1.)Фронтальная устная работа учащихся.

Цель: повторить пройденный материал,требующийся при изучении нового:

А) правильные инеправильные дроби; Б) приведение дробей к новому знаменателю; В) нахождение наименьшего общего знаменателя;

(Проводится работа с файлами. Учащиеся имеют ихв наличии на каждом уроке. На них пишут ответыфламастером, а за тем ненужная информациястирается.)

Задания для устной работы.

1. Назвать лишнюю дробь среди цепочки:

А) 5/6; 1/3; 7/10; 11/3; 4/7. Б) 2/6; 6/18; 1/3; 4/5; 4/12.

2. Привести дроби к новому знаменателю 30:

1/2; 2/3; 4/5; 5/6; 1/10.

Найти наименьший общий знаменатель дробей:

1/5 и 2/7; 3/4 и 1/6; 2/9 и 1/2.

2.) Игровая ситуация.

Ребята, наш знакомый клоун (учащиесяпознакомились с ним в начале учебного года)попросили меня помочь решить ему задачу. Но ясчитаю, что вы, ребята, сможете без меня помочьнашему другу. А задача следующая.

Сравнить дроби:

а) 1/2 и 1/6; б) 3/5 и 1/3; в) 5/6 и 1/6; г) 12/7 и 4/7; д) 3 1/7 и 3 1/5; е) 7 5/6 и 3 1/2; ж) 1/10 и 1; з) 10/3 и 1; и) 7/7 и 1.

Ребята, чтобы помочь клоуну, чему мы должнынаучиться?

Цель урока, задачи (учащиеся формулируютсамостоятельно).

Учитель помогает им, задавая вопросы:

а) а какие из пар дробей мы сможем уже сравнить?

б) какой инструмент для сравнения дробей намнеобходим?

3. Ребята в группах (в постоянныхразноуровневых).

Каждой группе выдается задание и инструкция кего выполнению.

Первая группа: Сравнить смешанные дроби:

а) 1 1/2 и 2 5/6; б) 3 1/2 и 3 4/5

и вывести правило равнения смешанных дробей содинаковыми и с разными целыми частями.

Инструкция: Сравнение смешанных дробей (используется числовой луч)

  1. сравните целые части дробей и сделайте вывод;
  2. сравните дробные части (правило сравнения дробных частей не выводить);
  3. составьте правило – алгоритм:

Вторая группа: Сравнить дроби с разнымизнаменателями и разными числителями.(использовать числовой луч)

а) 6/7 и 9/14; б) 5/11 и 1/22

Инструкция

  1. Сравните знаменатели
  2. Подумайте, нельзя ли привести дроби к общему знаменателю
  3. Правило начните со слов: Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, надо…

Третья группа: Сравнение дробей с единицей.

а)2/3 и 1; б) 8/7 и 1; в)10/10 и 1 и сформулировать правило.

Инструкция

Рассмотрите все случаи: (используйте числовойлуч)

а) Если числитель дроби равен знаменателю, ………; б) Если числитель дроби меньше знаменателя,………; в) Если числитель дроби больше знаменателя,………..

Сформулируйте правило.

Четвертая группа: Сравните дроби:

а) 5/8 и 3/8; б) 1/7 и 4/7 и сформулируйте правило сравнения дробей с одинаковым знаменателем.

Инструкция

Используйте числовой луч.

Сравните числители и сделайте вывод, начинаясловами: Из двух дробей с одинаковымизнаменателями…….

Пятая группа: Сравните дроби:

а) 1/6 и 1/3; б) 4/9 и 4/3, используя числовой луч:

0__.__.__1/6__.__.__1/3__.__.4/9__.__.__.__.__.__.__.__.__.__1__.__.__.__.__.__4/3__.__

Сформулируйте правило сравнения дробей содинаковыми числителями.

Инструкция

Сравните знаменатели и сделайте вывод, начинаясо слов:

Из двух дробей с одинаковымичислителями………...

Шестая группа: Сравните дроби:

а) 4/3 и 5/6; б) 7/2 и 1/2, используя числовой луч

0__.__.__1/2__.__5/6__1__.__4/3__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__7/2__.__

Сформулируйте правило сравнения правильных инеправильных дробей.

Инструкция.

Подумайте, какая дробь всегда больше,правильная или неправильная.

4. Обсуждение выводов, сделанных в группах.

Слово каждой группе. Формулировка правилучащихся и сравнение их с эталонамисоответствующих правил. Далее выдаютсяраспечатки правила сравнения различных видовобыкновенных дробей каждому учащемуся.

5. Возвращаемся к задаче, поставленной в началеурока. (Решаем задачу клоуна вместе).

6. Работа в тетрадях. Используя правиласравнения дробей, учащиеся под руководствомучителя сравнивают дроби:

а) 8/13 и 8/25; б)11/42 и 3/42; в)7/5 и 1/5; г) 18/21и 7/3; д) 2 1/2 и 3 1/5; е) 5 1/2 и 5 4/3;

(возможно приглашение ученика к доске).

7. Учащимся предлагается выполнить тест посравнению дробей на два варианта.

1 вариант.

1) сравнить дроби: 1/8 и 1/12

а) 1/8 1/12; б) 1/8 <1/12; в) 1/8=1/12

2) Что больше: 5/13 или 7/13?

а) 5/13; б) 7/13; в) равны

3) Что меньше: 2\3 или 4/6?

а) 2/3; б) 4/6; в) равны

4) Какая из дробей меньше 1: 3/5; 17/9; 7/7?

а) 3/5; б) 17/9; в) 7/7

5) Какая из дробей больше 1:?; 7/8; 4/3?

а) 1/2; б) 7/8; в) 4/3

6) Сравнить дроби: 2 1/5 и 1 7/9

а) 2 1/5<1 7/9; б) 2 1/5 = 1 7/9; в) 2 1/5 1 7/9

2 вариант.

1) сравнить дроби: 3/5 и 3/10

а) 3/5 3/10; б) 3/5<3/10; в) 3/5=3/10

2) Что больше: 10/12или1/12?

а) равны; б) 10/12; в) 1/12

3) Что меньше: 3/5 или 1/10?

а) 3/5; б) 1/10; в) равны

4) Какая из дробей меньше 1: 4/3;1/15;16/16?

а) 4/3; б) 1/15; в) 16/16

5) Какая из дробей больше 1: 2/5;9/8; 11/12?

а) 2/5; б) 9/8; в) 11/12

6) Сравнить дроби: 3 1/4 и 3 2/3

а) 3 1/4=3 2/3; б) 3 1/4 3 2/3; в) 3 1/4 < 3 2/3

Ответы к тесту:

1 вариант: 1а, 2б, 3в, 4а, 5б, 6а

2 вариант: 2а, 2б, 3б, 4б, 5б, 6в

8. Еще раз возвращаемся к цели урока.

Проверяем правила сравнения и даемдифференцированное домашнее задание:

1,2,3 группы – придумать на каждое правилосравнение по два примера и решить их.

4,5,6 группы - №83 а,б,в, №84 а,б,в (из учебника).

Сравнивают дроби обычно для того, чтобы узнать, какая больше, а какая меньше. Чтобы сравнить дроби, вам нужно привести их к одному знаменателю, тогда дробь с большим числителем большая, а с меньшим - меньшая. Самое сложное - это уяснить, как делать так, чтобы дроби имели одинаковые знаменатели, но все не так сложно, как кажется. Мы расскажем, как все это делать. Читайте дальше!

Шаги

  1. Узнайте, какие у дробей знаменатели - одинаковые или нет. Знаменатель - это число под дробной линией, внизу, а числитель - вверху. Например, у дроби 5/7 и 9/13 не одинаковые знаменатели. Вам нужно привести их к одному знаменателю.

    • Если знаменатели у дробей одинаковые, тогда вам нужно всего лишь сравнить числители, чтобы узнать, какая дробь больше.
  2. Найдите общий знаменатель. Чтобы сравнить дроби, прежде всего нужно найти общий знаменатель. Это нужно для сравнения, а также для проведения математических действий с дробями, сложения, вычитания и так далее. В случае сложения или вычитания необходимо искать наименьший общий знаменатель. Однако в данном случае (сравнение дробей) можно лишь умножить знаменатели обеих дробей, и получившееся число будет общим знаменателем. Помните, этот способ нахождения общего знаменателя работает ТОЛЬКО при сравнении дробей (а не сложении, вычитании, и так далее)

    • 7 x 13 = 91, новый общий знаменатель будет 91.
  3. Измените числители дробей. Когда вы найдете общий знаменатель, в данном случае это 91, вам нужно будет изменить числители, чтобы значение дроби осталось тем же. Для этого нужно умножить числители одной дроби на знаменатель второй, а числитель второй на знаменатель первой. Вот так:

    • В начальной дроби 5/7 мы умножили 7 на 13 и получили 91, теперь надо умножить 5 на 13, чтобы получить новый числитель. 5/7 x 13/13 = 65/91.
    • В дроби 9/13 мы умножили 13 на 7, чтобы получить новый знаменатель 91, теперь умножаем 9 на 7 и получаем новый числитель. 9 x 7 = 63, так что наша новая дробь выглядит так 63/91.

Продолжаем изучать дроби. Сегодня мы поговорим об их сравнении. Тема интересная и полезная. Она позволит новичку почувствовать себя учёным в белом халате.

Суть сравнения дробей заключается в том, чтобы узнать какая из двух дробей больше или меньше.

Чтобы ответить на вопрос какая из двух дробей больше или меньше, пользуются, такими как больше () или меньше (<).

Ученые-математики уже позаботились о готовых правилах, позволяющие сразу ответить на вопрос какая дробь больше, а какая меньше. Эти правила можно смело применять.

Мы рассмотрим все эти правила и попробуем разобраться, почему происходит именно так.

Содержание урока

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Дроби, которые нужно сравнить, попадаются разные. Самый удачный случай это когда у дробей одинаковые знаменатели, но разные числители. В этом случае применяют следующее правило:

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше. И соответственно меньше будет та дробь, у которой числитель меньше.

Например, сравним дроби и и ответим, какая из этих дробей больше. Здесь одинаковые знаменатели, но разные числители. У дроби числитель больше, чем у дроби. Значит дробь больше, чем. Так и отвечаем. Отвечать нужно с помощью значка больше ()

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на четыре части. пиццы больше, чем пиццы:

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Следующий случай, в который мы можем попасть, это когда числители дробей одинаковые, но знаменатели разные. Для таких случаев предусмотрено следующее правило:

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше. И соответственно меньше та дробь, у которой знаменатель больше.

Например, сравним дроби и. У этих дробей одинаковые числители. У дроби знаменатель меньше, чем у дроби. Значит дробь больше, чем дробь. Так и отвечаем:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на три и четыре части. пиццы больше, чем пиццы:

Каждый согласится с тем, что первая пицца больше, чем вторая.

Сравнение дробей с разными числителями и разными знаменателями

Нередко случается так, что приходиться сравнивать дроби с разными числителями и разными знаменателями.

Например, сравнить дроби и. Чтобы ответить на вопрос, какая из этих дробей больше или меньше, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Затем можно будет легко определить какая дробь больше или меньше.

Приведём дроби и к одинаковому (общему) знаменателю. Найдём (НОК) знаменателей обеих дробей. НОК знаменателей дробей и это число 6.

Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 6 на 2, получаем дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

Теперь найдём второй дополнительный множитель. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем дополнительный множитель 2. Записываем его над второй дробью:

Умножим дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби, у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как сравнивать такие дроби мы уже знаем. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше:

Правило правилом, а мы попробуем разобраться почему больше, чем. Для этого выделим целую часть в дроби. В дроби ничего выделять не нужно, поскольку эта дробь уже правильная.

После выделения целой части в дроби, получим следующее выражение:

Теперь можно легко понять, почему больше, чем. Давайте нарисуем эти дроби в виде пицц:

2 целые пиццы и пиццы, больше чем пиццы.

Вычитание смешанных чисел. Сложные случаи.

Вычитая смешанные числа, иногда можно обнаружить, что всё идёт не так гладко, как хотелось бы. Часто случается так, что при решении какого-нибудь примера ответ получается не таким, каким он должен быть.

При вычитании чисел уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае будет получен нормальный ответ.

Например, 10−8=2

10 — уменьшаемое

8 — вычитаемое

2 — разность

Уменьшаемое 10 больше вычитаемого 8, поэтому мы получили нормальный ответ 2.

А теперь посмотрим, что будет если уменьшаемое окажется меньше вычитаемого. Пример 5−7=−2

5 — уменьшаемое

7 — вычитаемое

−2 — разность

В этом случае мы выходим за пределы привычных для нас чисел и попадаем в мир отрицательных чисел, где нам ходить пока рано, а то и опасно. Чтобы работать с отрицательными числами, нужна соответствующая математическая подготовка, которую мы ещё не получили.

Если при решении примеров на вычитание вы обнаружите, что уменьшаемое меньше вычитаемого, то можете пока пропустить такой пример. Работать с отрицательными числами допустимо только после их изучения.

С дробями ситуация та же самая. Уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае можно будет получить нормальный ответ. А чтобы понять больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая, нужно уметь сравнить эти дроби.

Например, решим пример.

Это пример на вычитание. Чтобы решить его, нужно проверить больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая. больше чем

поэтому смело можем вернуться к примеру и решить его:

Теперь решим такой пример

Проверяем больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая. Обнаруживаем, что она меньше:

В этом случае разумнее остановиться и не продолжать дальнейшее вычисление. Вернёмся к этому примеру, когда изучим отрицательные числа.

Смешанные числа перед вычитанием тоже желательно проверять. Например, найдём значение выражения.

Сначала проверим больше ли уменьшаемое смешанное число, чем вычитаемое. Для этого переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Чтобы сравнить такие дроби, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Не будем подробно расписывать, как это сделать. Если испытываете затруднения, обязательно повторите.

После приведения дробей к одинаковому знаменателю, получаем следующее выражение:

Теперь нужно сравнить дроби и. Это дроби с одинаковыми знаменателями. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше.

У дроби числитель больше, чем у дроби. Значит дробь больше, чем дробь.

А это значит, что уменьшаемое больше, чем вычитаемое

А значит мы можем вернуться к нашему примеру и смело решить его:

Пример 3. Найти значение выражения

Проверим больше ли уменьшаемое, чем вычитаемое.

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Приведем данные дроби к одинаковому (общему) знаменателю:

Теперь сравним дроби и. У дроби числитель меньше, чем у дроби, значит дробь меньше, чем дробь

Добавить комментарий