Блог
193 0

Задачи из теории вероятностей на стрельбы. Задачи из теории вероятностей на стрельбы Найти вероятность три стрелка выстрелу

Задачи из теории вероятностей на стрельбы. Задачи из теории вероятностей на стрельбы Найти вероятность три стрелка выстрелу

Задача №19 ( ОГЭ - 2015)

Поле настольной игры представляет собой квадрат 5x5, клетки которого покрашены в черный и красный цвета в шахматном порядке, причем черных клеток больше. Игрок бросает на поле фишку. Найдите вероятность того, что она попадет на красную клетку.

Решение

Всего на поле клеток - 5*5 = 25.

Так как черных клеток больше и клетки покрашены в шахматном порядке, то красных клеток на поле 12, а черных - 13.

Тогда вероятность того, что фишка попадет на красную клетку равна P = 12/25 = 0,48.

Ответ: 0,48.

Перед началомфутбольного матчасудья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд будет первой владеть мячом. Команда А должна сыграть два матча - с командой В и с командой С. Найдите вероятность того, что в обоих матчах первой мячом будет владеть команда А.

Решение

Вероятность того, что команда А будет первой владеть мячом в матче с командой В равна 1/2.

Аналогично, вероятность того, что команда А будет первой владеть мячом в матче с командой С равна также 1/2.

Поэтому вероятность того, что команда А будет первой владеть мячом в обоих матчах равна 1/2*1/2 = 1/4 = 0,25.

Ответ: 0,25.

Задача №19 (Подготовка к ОГЭ-2015, Тренировочные варианты)

Маша уронила 3 монеты различного достоинства. С какой вероятностью количество выпавших "орлов" будет отличаться на 1 от количества выпавших "решек"?

Решение

Рассмотрим всевозможные варианты.

если "решка" - это Р, "орел" - это О. Тогда возможны следующие комбинации:

ООО ОРО ОРР ООР РОО РОР РРО РРР

То есть всего - 8 вариантов.

Из них нам подходят - 6 (ОРО ОРР ООР РОО РОР РРО).

Тогда искомая вероятность равна P = 6/8 = 0,75.

Ответ: 0,75.

Задача №19(Подготовка к ОГЭ-2015, Тренировочные варианты)

Стрелок 3 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что стрелок первые 2 раза попал в мишени, апоследний разпромахнулся.

Теория вероятностей.

Задачи на «Стрельбу».

№ 1. Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым либо вторым выстрелом).

Решение. Первый способ.

ПустьA - событие, состоящее в том, что мишень поражена стрелком с первого выстрела, B - событие, состоящее в том, что мишень поражена со второго выстрела. Вероятность события A равнаP(A) =P 1(A) = 0,8. Событие B наступает, если, стреляя первый раз, стрелок промахнулся P 1 () =1 – 0,8 = 0,2, а, стреляя второй раз, попал P 2(A ) = 0,8. Это независимые события, их вероятность равна произведению вероятностей этих событий: P(B) =P 1() ∙ P 2(A ) = 0,2·0,8 = 0,16. События A иB несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) = 0,8 + 0,16 = 0,96.

Ответ: 0,96.

Второй способ. Пусть A при одном выстреле, B - событие, состоящее в том, что мишень поражена ( либо первым либо вторым выстрелом).

Так как вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,8, то есть P ( A ) = 0,8, то вероятность того, что, стреляя первый раз, стрелок промахнулся, равна P 1 () = 1 - 0,8 = 0,2. Вероятность того, что, стреляя второй раз, стрелок промахнулся, равна P 2 () = 1 - 0,8 = 0,2. Вероятность того, что, стрелок промахнулся оба раза, равна P 1 () ∙ P 2 () = 0,2∙0,2 = 0,04. Вероятность противоположного события (хотя бы один раз не промахнется) равна P ( B )= 1 – 0,04 = 0,96.

Ответ: 0,96.

№ 2. Стрелок 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что стрелок первый раз попал

в мишень, а последние 3 раза промахнулся.

Решение. Пусть A - событие, состоящее в том, что мишень поражена стрелком при одном выстреле, B

Так как вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7, то вероятность попадания при первом выстреле равна P 1 ( A ) = 0,7, тогда вероятность того, что, стреляя второй раз, стрелок промахнулся, равна P 2 () = 1 - 0,7 = 0,3. Вероятность того, что, стреляя третий раз, стрелок промахнулся, равна P 3 () = 1 - 0,8 = 0,2. Вероятность того, что, стреляя четвертый раз, стрелок промахнулся, равна P 3 () = 1 - 0,8 = 0,2. Все события независимы. Вероятность того, что стрелок первый раз попал в мишень, а последние

3 раза промахнулся. P ( B )= P 1 ( A )∙ P 2 ()∙ P 3 ()∙ P 4 () = 0,7∙0,3∙0,3∙0.3 = 0,0189

Ответ: 0,0189.

№ 3. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго - 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.

Решение. Пусть A 1 A 2 С - попал только один из стрелков, то есть (первый попадет и второй промажет) либо (первый промажет и второй попадет).

1 р ()=1-р(А 1 )=1- 0,7 = 0,3.

2 р ()=1-р(А 2 )=1 - 0,8 = 0,2. р (С) = р(А 1 )∙р () + р(А 2 )∙р () = 0,7∙0,2 + 0,8∙0,3 = 0,38

Ответ.0,38.

№ 4. Каждый из трех стрелков стреляет в мишень по одному разу, причем вероятность попадания 1 стрелка составляет 80%, второго – 70%, третьего – 60%. Найдите вероятность того, что двое из трех стрелков попадет в мишень.

Решение.

Пусть A 1 - событие, состоящее в том, что мишень поражена первым стрелком, A 2 - событие, состоящее в том, что мишень поражена вторым стрелком. A 3 С - событие, состоящее в том, что в мишень попали только двое из трех из стрелков,

Вероятность попадания в мишень первым стрелком р (А 1 )=0,8, вероятность его промаха р ()=1-р(А 1 )=1- 0,8 = 0,2.

Вероятность попадания в мишень вторым стрелком р (А 2 )=0,7, вероятность его промаха р ()=1-р(А 2 )=1 – 0,7 = 0,3.

3 р ()=1-р(А 2 )=1 – 0,6 = 0,4.

Чтобы вычислить вероятность (двое из трех попали), надо вычислить вероятности, когда: 1. Промахнулся только первый стрелок, а второй и третий попали. 2. Промахнулся только второй стрелок, а первый и третий попали. 3. Промахнулся только третий стрелок, а первый и второй попали. Вероятность того, что промахнулся только первый стрелок, а второй и третий попали: P 1 = р ()∙ р (А 2 )∙ р (А 3 )= 0,2∙0,7∙0,6 = 0,084. Вероятность того, что промахнулся только второй стрелок, а первый и третий попали P 2 = р (А 1 ) ∙ р () р (А 3 )= 0,8∙0,3∙0,6 = 0,144. Вероятность того, что промахнулся только третий стрелок, а первый и второй попали P 3 = р (А 1 ) ∙ р (А 2 ) ∙ р () = 0,8∙0,7∙0,4 = 0,224. Отсюда вероятность (2 из 3 попали) р (С) = P 1 + P 2 + P 3 = 0,084+0,144+0,224 = 0,452 Ответ: 0,452

№ 5. Стрелок 3 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что стрелок первые 2 раза попал

Решение. Пусть A - событие, состоящее в том, что мишень поражена стрелком при одном выстреле, B - событие, состоящее в том, что мишень поражена.

Так как вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,8, то вероятность попадания при первом выстреле равна P 1 ( A ) = 0,8, вероятность попадания при втором выстреле равна P 2 ( A ) = 0,8, вероятность того, что, стреляя третий раз, стрелок промахнулся, равна P 3 () = 1 - 0,8 = 0,2.

Все события независимы. Вероятность того, что стрелок первые 2 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся.

P ( B )= P 1 ( A )∙ P 2 (А)∙ P 3 () = 0,8∙0,8∙0,2 = 0,128

Ответ: 0,128

Решение.

Промахнуться он мог первым, вторым,.. пятым выстрелом. ХОООО; ОХООО; ООХОО; ОООХО; ООООХ. Вероятность каждого исхода равна 0,8 4 ∙ 0,2. Суммируем вероятности: p = 5∙(0,8 4 ∙ 0,2) = 0,8 4 = 0,4096. Ответ.0,4096.

№ 7. Три стрелка стреляют в цель. Вероятность попадания в цель для первого, второго и третьего стрелка соответственно равна 0,6; 0,7 и 0,75; Определить вероятность хотя бы одного попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу.

Решение.

Пусть A 1 - событие, состоящее в том, что мишень поражена первым стрелком, A 2 - событие, состоящее в том, что мишень поражена вторым стрелком. A 3 - событие, состоящее в том, что мишень поражена третьим стрелком. С - событие, состоящее в том, что в мишень попали хотя бы один раз.

Вероятность попадания в мишень первым стрелком р (А 1 )=0,6, вероятность его промаха р ()=1-р(А 1 )=1- 0,6 = 0,4.

Вероятность попадания в мишень вторым стрелком р (А 2 )=0,7, вероятность его промаха р ()=1-р(А 2 )=1 – 0,7 = 0,3.

Вероятность попадания в мишень третьим стрелком р (А 3 )=0,75, вероятность его промаха р ()=1-р(А 2 )=1 – 0,75= 0,25.

Посчитаем вероятность события: никто не попал (то есть все промазали):

Р= р ()∙ р ()∙ р ()= 0,4∙0,3∙0,25= 0,03. Вероятность хотя бы одного попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу р (С) = 1 – Р = 1 – 0,03 = 0,97.

Ответ.0,97.

№ 8. Три стрелка один за другим стреляют в цель. Вероятность попадания первого - 0,8. Второго - 0,75. Третьего 0,7. Какова вероятность того, что попадут все три стрелка?

Решение.

Пусть A 1 - событие, состоящее в том, что цель поражена первым стрелком, A 2 - событие, состоящее в том, что цель поражена вторым стрелком. A 3 - событие, состоящее в том, что цель поражена третьим стрелком. С - событие, состоящее в том, что в цель попали все три стрелка.

Вероятность попадания в мишень первым стрелком р (А 1 )=0,8. Вероятность попадания в мишень вторым стрелком р (А 2 )=0,75. Вероятность попадания в мишень третьим стрелком р (А 3 )=0,7.

Вероятность того, что в цель попали все три стрелка:

р (С) = р (А 1 )∙ р (А 1 )∙ р (А 1 )=0,8∙0,75∙0,7= 0,42

Ответ. 0,42.

№ 9. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет

из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение.1 способ.

Пусть A 1 - событие, состоящее в том, что ковбой берет пристрелянный револьвер, A 2 В 1 В 2 - событие, состоящее в том, что ковбой попадает в муху из не пристрелянного револьвера. С - событие, состоящее в том, что Джон не промахнётся.

Вероятность того, что ковбой схватит пристрелянный револьвер р (А 1) = 0,4. Вероятность того, что ковбой попадает в муху из пристрелянного револьвера р (В 1) = 0,9. Вероятность того, что попадется пристрелянный револьвер и Джон попадет, равна Р 1=р (А 1)∙ р (В 1) = 0,4∙0,9 = 0,36.

Вероятность того, что ковбой схватит не пристрелянный револьвер р (А 2) = 0,6. Вероятность того, что ковбой попадает в муху из не пристрелянного револьвера р (В 2) = 0,2. Вероятность того, что попадется не пристрелянный револьвер и Джон попадет, равна Р 1=р (А 2)∙ р (В 2) = 0,6∙0,2 = 0,12.

Вероятность того, что Джон не промахнётся р(С) = Р 1 + Р 2 = 0,36 +0,12 = 0,48.

Вероятность противоположного события Джон промахнётся р()= 1 - р(С) = 1 - 0,48 = 0.52.

Ответ. 0,52.

2 способ.

Пусть A 1 - событие, состоящее в том, что ковбой берет пристрелянный револьвер. A 2 - событие, состоящее в том, что ковбой берет не пристрелянный револьвер. В 1 - событие, состоящее в том, что ковбой попадает в муху из пристрелянного револьвера. В 2 - событие, состоящее в том, что ковбой попадает в муху из не пристрелянного револьвера. - событие, состоящее в том, что ковбой промахнется из пристрелянного револьвера. - событие, состоящее в том, что ковбой промахнется из не пристрелянного револьвера. С - событие, состоящее в том, что Джон промахнётся.

Вероятность того, что ковбой схватит пристрелянный револьвер р (А 1) = 0,4. Вероятность того, что ковбой попадает в муху из пристрелянного револьвера р (В 1) = 0,9, вероятность промаха Р() = 1 - р (В 1) = 1 - 0,9 = 0,1. Вероятность того, что попадется пристрелянный револьвер и Джон промахнется, равна Р 1 = р (А 1)∙ р () = 0,4∙0,1 = 0,04.

Вероятность того, что ковбой схватит не пристрелянный револьвер р (А 2) = 0,6. Вероятность того, что ковбой попадает в муху из не пристрелянного револьвера р (В 2) = 0,2, вероятность промаха Р() = 1 - р (В 1) = 1 - 0,2 = 0,8. Вероятность того, что попадется не пристрелянный револьвер и Джон промахнется, равна Р 2 = р (А 2) ∙ р () = 0,6∙0,8= 0,48.

Вероятность того, что Джон промахнётся р(С) = Р 1 + Р 2 = 0,04 +0,48 = 0,52.

Ответ. 0,52.

№ 10. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем - 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Решение. Переформулируем вопрос задачи:

Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность промаха была бы меньше 1 -0,98 = 0,02?

При первом выстреле вероятность промаха 1- 0,4 = 0,6.

При каждом последующем выстреле вероятность промаха 1 - 0,6 = 0,4.

При двух выстрелах вероятность промаха 0,6∙0,4 = 0,24 (первый выстрел – промах и второй выстрел – промах).

При трех выстрелах вероятность промаха

0,6∙0,4∙0,4 = 0,096

При четырех выстрелах вероятность промаха

0,6∙0,4∙0,4 ∙0,4= 0,0384

При пяти выстрелах вероятность промаха

0,6∙0,4∙0,4 ∙0,4∙0,4 = 0,01536

Замечаем, что 0,015360,2

Итак, пяти выстрелов достаточно, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98.

Ответ: 5.

№ 11. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,6, а при каждом последующем - 0,8. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,95?

Сколько бы не было сделано выстрелов, все эти события (каждый отдельный выстрел) будут независимыми. При совершении независимых событий (в данном случае группы выстрелов) одновременно вероятность такого события будет равна произведению вероятностей этих независимых событий.

Вероятность поразить цель при первом выстреле равна 0,6.

Значит, вероятность промахнуться при первом выстреле равна 0,4.

Вероятность поразить цель при каждом последующем выстреле (втором ит.д.) равна 0,8.

Значит, вероятность промаха при каждом последующем выстреле равна 0,2.

Необходимо поставить вопрос: каким образом может быть поражена цель?

Цель может быть поражена либо при первом выстреле, либо вторым выстрелом, либо третьим, либо четвёртым, либо пятым выстрелом и т.д. …

Все перечисленные события независимые. Найдём их вероятности.

При первом:

Вероятность поражения равна 0,6.

При втором:

Вероятность поражения равна 0,4 ∙ 0,8 = 0,32 (мимо -попал).

То есть, вероятность поражения цели не более, чем двумя выстрелами равна 0,6 + 0,32 = 0,92 < 0,95

При третьем:

Вероятность поражения равна 0,4 ∙ 0,2 ∙ 0,8 = 0,064 (мимо –мимо -попал).

То есть, вероятность поражения цели не более, чем тремя выстрелами равна 0,6 + 0,32 + 0,064 = 0,984 0,95

Таким образом, необходимо сделать три выстрела, чтобы мишень была поражена с вероятностью не менее 0,95.

Ответ: 3

№ 12. Вероятность попасть в мишень равна 0,6. Произведено три выстрела. Какова вероятность, что мишень была поражена не менее двух раз?

Решение:

Вероятность того, что все три выстрела попадут в цель, равна P 1 =0,6 3 =0,216.

Вероятность того, что мишень будет поражена два раза, равна P 2 =3 ∙ (0,4 ∙ 0,6 ∙ 0,6)=3 ∙ 0,144=0,432. Здесь умножили на 3, потому что возможны три варианта (попал - не попал -попал, попал – попал - не попал и не попал-попал-попал). Тогда искомая вероятность равна P=P1+P 2 =0,216 +0,432 = 0,648.

Ответ 0.648.

Стрелок 3 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что стрелок первые 2 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся.

Теорема умножения вероятностей

Чтобы найти вероятность наступления трех независимых событий P(ABС) необходимо посчитать произведение вероятностей этих событий:

P(ABC) = P(A) * P(B) * P(C);

Пускай события:

  • A – первый выстрел по мишени;
  • B – второй выстрел по мишени;
  • C – третий выстрел по мишени.

Найдите вероятность каждого события

  1. P(A) = 0,8;

По условию сказано, что производя первый выстрел, стрелок должен попасть по мишени, вероятность попадания по мишени из условия равна 0,8, тогда P(A) = 0,8.

Во второй выстрел стрелок также должен попасть по мишени, аналогично, вероятность P(B) = 0,8.

При произведении третьего выстрела из условия, стрелок должен промахнуться. Вероятность промаха P(C) обратная попаданию и считается таким образом:

  • P(C) = 1 - (вероятность попадания);
  • P(C) = 1 - 0,8 = 0,2;

Посчитайте произведение

Для нахождения вероятности необходимо все найденные вероятности ранее перемножить:

  • P(ABC) = P(A) * P(B) * P(C);
  • P(ABC) = 0,8 * 0,8 * 0,2 = 0,128;
  • P(ABC) = 0,128 * 100% = 12,8%.

Решение задачи:

Чтобы найти заданную вероятность, нужно перемножить вероятности результата для каждого случая.

Случай 1 - стрелок попал. Вероятность составляет 0,8.

Случай 2 - стрелок попал. Вероятность составляет 0,8.

Случай 3 - стрелок не попал. Вероятность составляет 0,2.

Таким образом вероятность попадания при первых двух выстрелах и промаха при третьем составит:

0,8 * 0,8 * 0,2 = 0.128 или 12,8%

Ответ: вероятность попадания при первых двух выстрелах и промаха при третьем составляет 0,128 или 12,8%.

Стрелок 3 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. и получил лучший ответ

Ответ от Влад Васильев[гуру] 0,8*0,8*0,2

Ответ от Ўра Ким [новичек] Если нужно посчитать вероятность нескольких событий, все из которых должны произойти (т. е. должно произойти и первое, и второе, и третье, и т. д.), то нужно умножить вероятности всех этих событий. Если нужно посчитать вероятность нескольких событий, хотя бы одно из которых должны произойти (т. е. должно произойти или первое, или второе, или третье, и т. д.), то нужно сложить вероятности всех этих событий. В нашем случае должны произойти все события: 1 выстрел - попал, 2-ой выстрел - попал, 3-ий выстрел - попал, 4-ый выстрел - не попал. Вероятность того, что стрелок промахнется, т. е. не попадет P=1-0,5=0,5. Тогда: P=0,5*0,5*0,5*0,5=0,0625 Ответ: 0,0625

Ответ от Анна Анна [новичек] Вероятность того, что стрелок промахнётся равна 1? 0,8 = 0,2. Вероятность того, что стрелок первые два раза попал по мишеням равна 0,82 = 0,64. Откуда, вероятность события, при котором стрелок сначала два раза попадает в мишени, а третий раз промахивается равна 0,64 · 0,2 = 0,128.

Иногда об этом прямо сказано в условии задачи, но чаще всего приходится проводить самостоятельный анализ. Какого-то однозначного ориентира тут нет, и факт зависимости либо независимости событий вытекает из естественных логических рассуждений.

Задачи на теоремы сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей независимых событий

Самая настоящая классика теории вероятностей:

Задача 5

Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,6. Найти вероятность того, что:

а) только один стрелок попадёт в мишень; б) хотя бы один из стрелков попадёт в мишень.

Решение: вероятность попадания/промаха одного стрелка, очевидно, не зависит от результативности другого стрелка.

Рассмотрим события: – 1-й стрелок попадёт в мишень; – 2-й стрелок попадёт в мишень.

По условию:.

Найдём вероятности противоположных событий – того, что соответствующие стрелки промахнутся:

а) Рассмотрим событие: – только один стрелок попадёт в мишень. Данное событие состоит в двух несовместных исходах:

1-й стрелок попадёт и 2-й промахнётся или 1-й промахнётся и 2-й попадёт.

На языке алгебры событий этот факт запишется следующей формулой:

Сначала используем теорему сложения вероятностей несовместных событий, затем – теорему умножения вероятностей независимых событий: – вероятность того, что будет только одно попадание.

б) Рассмотрим событие: – хотя бы один из стрелков попадёт в мишень.

Способ первый: событие состоит в 2-х несовместных исходах: попадёт кто-то один (событие ) или попадут оба стрелка, обозначим последнее событие буквой. Таким образом:

По теореме умножения вероятностей независимых событий: – вероятность того, что 1-й стрелок попадёт и 2-ой стрелок попадёт.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий: – вероятность хотя бы одного попадания по мишени.

Способ второй: рассмотрим противоположное событие: – оба стрелка промахнутся.

По теореме умножения вероятностей несовместных событий:

В результате:

Особое внимание обратите на второй способ – в общем случае он более рационален.

Способ третий: события совместны, а значит, их сумма выражает событие «хотя бы один стрелок попадёт в мишень» По теореме сложения вероятностей совместных событий и теореме умножения вероятностей независимых событий:

Выполним проверку: события и (0, 1 и 2 попадания соответственно) образуют полную группу, поэтому сумма их вероятностей должна равняться единице:, что и требовалось проверить.

Ответ:

При основательном изучении теории вероятностей вам встретятся десятки задач милитаристского содержания, и, что характерно, после этого никого не захочется пристрелить – задачи почти подарочные. А почему бы не упростить ещё и шаблон? Cократим запись:

Решение: по условию:, – вероятность попадания соответствующих стрелков. Тогда вероятности их промаха:

а) По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей независимых событий: – вероятность того, что только один стрелок попадёт в мишень.

б) По теореме умножения вероятностей независимых событий: – вероятность того, что оба стрелка промахнутся.

Тогда: – вероятность того, что хотя бы один из стрелков попадёт в мишень.

Ответ:

На практике можно пользоваться любым вариантом оформления. Конечно же, намного чаще идут коротким путём, но не нужно забывать и 1-й способ – он хоть и длиннее, но зато содержательнее – в нём понятнее, что, почему и зачем складывается и умножается. В ряде случаев уместен гибридный стиль, когда прописными буквами удобно обозначить лишь некоторые события.

Похожие задачи для самостоятельного решения:

Задача 6

Для сигнализации о возгорании установлены два независимо работающих дат­чика. Вероятности того, что при возгорании датчик сработает, для первого и второго датчиков соответственно равны 0,5 и 0,7. Найти вероятность того, что при пожаре:

а) оба датчика откажут; б) оба датчика сработают. в) Пользуясь теоремой сложения вероятностей событий, образующих полную группу, найти вероятность того, что при пожаре сработает только один датчик. Проверить результат прямым вычислением этой вероятности (с помощью теорем сложения и умножения).

Здесь независимость работы устройств непосредственно прописана в условии, что, кстати, является важным уточнением. Образец решения оформлен в академичном стиле.

Как быть, если в похожей задаче даны одинаковые вероятности, например, 0,9 и 0,9? Решать нужно точно так же! (что, собственно, уже продемонстрировано в примере с 2-мя монетами)

Задача 7

Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8. Вероятность того, что цель не поражена после выполнения первым и вторым стрелками по одному выстрелу равна 0,08. Какова вероятность поражения цели вторым стрелком при одном выстреле?

Задача 8

Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение смены первый станок потребует настройки, равна 0,3, второй – 0,75, третий – 0,4. Найти вероятность того, что в течение смены:

а) все станки потребуют настройки; б) только один станок потребует настройки; в) хотя бы один станок потребует настройки.

Решение: коль скоро в условии ничего не сказано о едином технологическом процессе, то работу каждого станка следует считать не зависимой от работы других станков.

По аналогии с Задачей №5, здесь можно ввести в рассмотрение события, состоящие в том, что соответствующие станки потребуют настройки в течение смены, записать вероятности, найти вероятности противоположных событий и т.д. Но с тремя объектами так оформлять задачу уже не очень хочется – получится долго и нудно. Поэтому здесь заметно выгоднее использовать «быстрый» стиль:

По условию: – вероятности того, что в течение смены соответствующие станки потребуют настойки. Тогда вероятности того, что они не потребуют внимания:

а) По теореме умножения вероятностей независимых событий: – вероятность того, что в течение смены все три станка потребуют настройки.

б) Событие «В течение смены только один станок потребует настройки» состоит в трёх несовместных исходах:

1) 1-й станок потребует внимания и 2-й станок не потребует и 3-й станок не потребует или: 2) 1-й станок не потребует внимания и 2-й станок потребует и 3-й станок не потребует или: 3) 1-й станок не потребует внимания и 2-й станок не потребует и 3-й станок потребует.

По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей независимых событий: – вероятность того, что в течение смены только один станок потребует настройки.

Думаю, сейчас вам должно быть понятно, откуда взялось выражение

в) Вычислим вероятность того, что станки не потребуют настройки, и затем – вероятность противоположного события: – того, что хотя бы один станок потребует настройки.

Ответ:

Задача 9

Из трех орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания при одном выстреле только из первого орудия равна 0,7, из второго – 0,6, из третьего – 0,8. Найти вероятность того, что: 1) хотя бы один снаряд попадет в цель; 2) только два снаряда попадут в цель; 3) цель будет поражена не менее двух раз.

Задача 10

Стрелок попадает в цель с одной и той же вероятностью при каждом выстреле. Какова эта вероятность, если вероятность хотя бы одного попадания при трех выстрелах равна 0,973.

Решение: обозначим через – вероятность попадания в мишень при каждом выстреле. и через – вероятность промаха при каждом выстреле.

И таки распишем события: – при 3-х выстрелах стрелок попадёт в мишень хотя бы один раз; – стрелок 3 раза промахнётся.

По условию, тогда вероятность противоположного события:

С другой стороны, по теореме умножения вероятностей независимых событий:

Таким образом: – вероятность промаха при каждом выстреле.

В результате: – вероятность попадания при каждом выстреле.

Ответ: 0,7

Решения и ответы:

Задача 2: Решение: всего: 10 + 6 = 16 пуговиц в коробке. способами можно извлечь 2 пуговицы из коробки; способами можно извлечь 2 красные пуговицы; способами можно извлечь 2 синие пуговицы. По классическому определению: – вероятность того, что из коробки будут извлечены две красные пуговицы; – вероятность того, что из коробки будут извлечены две синие пуговицы. – вероятность того, что из коробки будут извлечены две одноцветные пуговицы. Ответ: 0,5

Задача 4: Решение: рассмотрим события: – из 1-й, 2-й и 3-й урны соответственно будет извлечён белый шар. По классическому определению вероятности:

вероятности: Тогда вероятности извлечения чёрного шара из соответствующих урн равны:

а) Рассмотрим событие: – из каждой урны будет извлечено по 1-му белому шару. Данное событие выражается в виде произведения (из 1-й урны будет извлечён БШ и из 2-ой урны будет извлечён БШ и из 3-й урны будет извлечён БШ).

б) Рассмотрим событие – из каждой урны будет извлечено по 1-му чёрному шару. По теореме умножения вероятностей независимых событий: Рассмотрим событие – все три шара будут одного цвета. Данное событие состоит в двух несовместных исходах: (будут извлечены 3 белых или 3 чёрных шара) По теореме сложения вероятностей несовместных событий:

Ответ:

Задача 6: Решение: рассмотрим следующие события: – при возгорании сработает 1-й датчик; – при возгорании сработает 2-й датчик. По условию: Вычислим вероятности противоположных событий: и 2-го орудий и промах из 3-го или попадание из 1-го и промах из 2-го и попадание из 3-го орудия или промах из 1-го и попадание из 2-го и 3-го орудий. По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей независимых событий: – вероятность того, что только два снаряда попадут в цель.

3) По теореме умножения вероятностей независимых событий: – вероятность того, что все три снаряда попадут в цель. По теореме сложения вероятностей несовместных событий: – вероятность того, что цель будет поражена не менее двух раз

Ответ:

Добавить комментарий